공부와 업무에 바로 써먹는
미적분의 눈으로 사물을 보는 법

반도체 엔지니어가 구체적으로 들려주는
미적분의 개념과 구조, 쓸모에 관한 이야기

‘미분과 적분’은 누구나 들어보긴 했지만 어떻게 계산하는 건지, 무엇을 위한 건지 확실히 알지 못하거나, 계산은 할 줄 알아도 실생활에 어떻게 활용할 수 있는지 모르는 사람들이 많다. 특히 학생들은 어렵다는 선입견으로 지레 겁을 먹고 포기하기 일쑤다.

최근 사회 각 분야의 전문성이 깊어지면서 개인이 갖추어야 할 기본 소양의 폭 또한 넓어지고 있다. 특히 미적분 개념은 현대인의 생활과 떼려야 뗄 수 없는 관계이다. 고객 수나 가격 관리, 수익률, 회전률, 가동률, 불량률… 등 수없이 많은 부분에서 핵심 툴로 사용된다. 갈수록 미적분의 중요성이 커지면서 대중의 관심 또한 높아지고 있다.

이 책의 저자는 미적분 개념을 늘 업무에 활용하는 현직 반도체 엔지니어다. 그래서 학문적이거나 추상적인 설명을 걷어내고 지극히 실용적 관점에서 간명하면서도 이해하기 쉽게 미적분의 본질을 설명한다. 돈의 흐름, 자동차 내부, 바이러스 감염 등 미적분이 쓰이는 흥미로운 사례와 함께 이 책에 빠져들다 보면 나도 모르게 미적분 사고법을 공부와 업무에 활용하고 있는 자신을 발견할지도 모른다.

저자는 미적분 개념을 전혀 모르거나, 뭔지 알고 싶어 하는 수학 문외한부터 수학 수업을 더 잘 이해하고 싶고 수학 시험 고득점을 원하는 학생, 수학은 잘하지만 미적분을 더 깊이 이해하고 싶은 고수, 또 수학 수업을 더 알기 쉽게 설명하고자 하는 교사나 강사들을 염두에 두고 이 책을 썼다. 각자의 필요에 따라 원하는 만큼 떠먹여 주는, 세상에서 가장 실용적인 수학 교양서다.

Prologue
이 책을 읽는 법

Chapter 1 미적분으로 생기는 관점

1-1 미적분으로 보는 바이러스 감염
1-2 자동차 안에서 쓰이는 미적분
1-3 미적분으로 분석하는 돈의 흐름
1-4 스마트폰 속의 미적분

Chapter 2 미적분이란 무엇인가?

2-1 거속시의 관계는 미적분
2-2 적분이란? 넓이를 구하는 ‘엄청난 곱셈’
2-3 미분이란? 기울기를 구하는 ‘엄청난 나눗셈’
2-4 혜성의 궤도를 예상한 미분
2-5 기름의 온도를 제어하는 미적분

Chapter 3 왜 수식을 사용할까?

3-1 미래를 예측하려면 수식을 써라
3-2 함수란 무엇인가?
(원포인트) 역함수
3-3 그래프에 익숙해지자
3-4 수식 만드는 법
3-5 시뮬레이션에는 미분방정식이 따라다닌다
3-6 과학 기술을 보좌하는 미분방정식
3-7 수식의 특징
(원포인트) 대수 그래프 읽는 법

Chapter 4 수학의 세계 속 미적분

4-1 적분으로 넓이 구하기
4-2 미분으로 기울기 구하기
4-3 도함수란 ‘기울기의 함수’
4-4 적분은 미분의 역연산
4-5 미적분의 구조
4-6 미적분에서 쓰이는 기호
4-7 미적분 계산 방법
4-8 네이피어 수는 왜 중요한가?

Chapter 5 무한의 힘으로 미적분은 완벽해진다

5-1 원의 넓이 공식은 사실일까?
5-2 극한을 생각하는 이유
5-3 극한을 써서 미분 생각하기
(원포인트) f ′(x)=nxn-1은 자연수 이외의 n으로도 성립한다
5-4 극한을 써서 적분 생각하기
(원포인트) Σ 기호 사용법

Chapter 6 미분방정식으로 미래 예측하기

6-1 미분방정식이란 무엇인가?
6-2 운동방정식으로 사물의 움직임을 예측할 수 있다
6-3 미분방정식으로 화석의 연대를 알 수 있다
6-4 생물의 개체 구하기
6-5 적도와 북극에서 체중이 달라진다
6-6 미분방정식의 한계

Chapter 7 또 다른 미적분 이야기

7-1 지수, 대수함수와 미적분
7-2 삼각 함수와 미적분
7-3 함수의 증감
7-4 여러 가지 미적분 테크닉
7-5 적분으로 부피나 곡선의 길이를 구할 수 있다

미분하고 적분하면 문제의 해법과 미래가 보인다

의미와 구조를 알 수 있는
내 인생 첫 미분과 적분

미분과 적분이란 무엇일까? 말 그대로 풀이하면 미분은 미세한 부분이고, 적분은 미세한 부분을 쌓아서 합친다는 의미다. 그런데 왜 미적분이 현대 문명의 근간이라고 불리는 것일까? 실제로 미적분은 첨단 IT 기술이나 감염병 예측, 무선 통신, 로켓 발사, 인공지능, 심지어 언제나 우리 손에 들려 있는 스마트폰이 작동하기 위해서도 반드시 필요한 도구다. 이 책의 저자는 우리가 학교에서 배운 수학에서 실질적으로 가장 많은 도움을 받을 수 있는 부분 역시 미적분이라고 이야기한다. 우리 실생활이나 업무에서 가장 중요한 숫자들을 분석하고 개선점이나 업무 추진 방향 등을 정하기 위해서는 미적분적 사고가 중요하고, 이를 활용하는 사람과 그렇지 않은 사람 사이에는 건널 수 없는 격차가 발생한다고 말한다.

현대 사회의 발전과 다가올 미래를 이야기할 때 빠트릴 수 없는 것이 컴퓨터와 인공지능이다. 이 세상에서 생명체를 제외하고 유일하게 ‘사고와 추론’을 할 수 있다고 평가받는 것이 바로 인공지능이다. 인공지능 기능은 우리가 알게 모르게 스마트폰이나 자동차, 냉장고, 청소기, 세탁기 같은 가전제품 속으로 들어와 열심히 일하고 있다. 이미 우리 생활의 일부가 되었고 앞으로 더 많은 역할을 수행할, 가장 가깝고도 중요한 동료나 마찬가지인 것이다. 이런 소중한 존재가 어떻게 사고하고 추론하는지를 이해한다는 것은 개인의 발전에도 관건이 될 수 있다. 그런데 이 인공지능의 사고 회로를 구성하는 근간이 수학이고 그중에서 가장 큰 역할을 하는 것이 바로 미적분이다. 미적분을 공부하면 인공지능의 ‘마음’을 헤아릴 수 있다고 이 책의 저자가 강조하는 이유다.

미적분은 어떻게 세상을 움직이는가?

이 책은 모두 7개의 챕터로 이루어졌다. 저자는 미적분을 입문자들이 어렵게 느끼는 이유가 복잡한 수식이 선입견을 불러일으킨 탓이 크다고 보면서 Chapter 2까지는 수식을 전혀 사용하지 않고 사례를 들어 이해하기 쉽게 개념을 설명한다. 특히 수식을 싫어하는 수포자들조차 미적분의 개념을 명확하게 받아들일 수 있도록 설명했다고 자신 있게 말한다. 앞쪽에는 쉬운 내용으로 미적분적 사고를 할 수 있도록 돕고 뒤쪽으로 갈수록 깊이 있는 내용으로 구성했으며, 도중에 막히더라도 그때까지 쌓은 지식으로 충분히 도움을 받을 수 있도록 구성했다. 미적분이 쓰이는 친근한 사례를 들어가며 개념을 설명하고, 미래를 예측하기 위해 수식을 어떻게 사용해야 하는지, 적분으로 면적을 구하는 방법, 미분으로 기울기를 구하는 방법, 미적분의 구조 및 사용되는 기호, 계산 방법 등 실제로 주변에 넘쳐나는 미적분을 알기 쉽게 설명한다.

”미적분 세계에 오신 걸 환영합니다“
세상을 이해하는 최소한의 수학 교양서

대부분 대학에서는 전공을 불문하고 이공계열 1학년 학생들에게 필수과목으로 미적분학을 이수하도록 커리큘럼을 구성한다. 우리가 살아가는 세상의 사회 현상이나 자연 현상, 경제나 공학 등 거의 모든 분야에서 추세나 변화의 흐름을 분석하고 추적하기 위해서는 미적분이 필수 도구이기 때문이다. 저자는 미적분을 알면 단순히 숫자로만 보이던 것에서 그치지 않고 더 다양한 정보를 얻어낼 수 있다고 말한다. 예를 들어 어떤 사람이 라면 가게를 운영한다고 치자. 이번 달에 500만 원의 이익이 났다고 했을 때 이것이 많은지 적은지를 알려면 지난달의 수익과 비교해야 한다. 수익의 증감을 아는 것이 미분이다. 또한 1년 치 이익을 적분해 볼 수도 있다. 단순히 이익 숫자만 보고 있으면 매달의 이익이라는 하나의 정보만 얻을 수 있지만, 미분을 통해 ‘변화’를, 적분을 통해 ‘누적’이라는 정보를 얻을 수 있는 것이다. 학창 시절에 미적분을 제대로 이해하지 못한 채 세상에 나왔다면 지금이라도 우리가 미적분을 이해하고 공부해야 하는 이유다. 개인적 성공이나 직장에서의 승진에 대한 열망이 있는 사람이라면 더는 늦지 않게 이 책을 통해 미적분이라는 성공으로 향하는 마법의 도구를 자신의 것으로 만들 수 있기를 바란다.